阴影面积六年级题型心形（阴影区域面积——探究心形）

阴影区域面积——探究心形

一、什么是阴影面积？

在学习图形面积时，我们会涉及到阴影面积的计算。所谓“阴影面积”，即图形内部未被涂色的部分所占据的面积。它常常需要我们根据已知条件推导图形内部的空白区域面积，是一种较为综合的计算题型。

二、心形的构造与性质

心形是一种富有浪漫气息的图形，它起初是两条曲线的相互嵌套所得。它的数学表达式为：$(x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0$。心形具有对称性，即沿不同轴线所得图像相同，也具有心轴性，即沿过它的对称轴把它对称后不变。 让我们来探索一下心形所围成的阴影面积。如果将心形沿中心轴对称，将其分成两个对称的部分（如图所示），那么这个面积就等于两个半心形的面积之和再减去中间重叠部分的面积。因此，我们可以通过求得半心形的面积，进而推导出心形的阴影面积。

三、如何计算阴影面积？

计算心形的阴影面积，需要用到面积计算的知识。半心形的面积可以通过计算心形曲线以上的面积再乘以2来求得。 因此，我们可以先求出心形上一半的曲线与x轴所围成的面积，然后再乘以2。这一面积可以通过积分计算求得。 如图所示，设两条曲线分别为$y_1=\\sqrt{1-x^2}$和$y_2=1-x$。则两条曲线所在区域与$x$轴所围成的面积为： $$\\int_0^1(\\sqrt{1-x^2}-(1-x))dx$$ 通过积分计算可以得到这一面积约等于$0.366$，那么半心形的面积就是$(0.366\imes2)=0.732$。 最后，将半面积乘以2再减去心形内部重叠部分的面积就可以得到心形阴影面积。由于重叠部分为一个正方形，边长等于心的宽度，所以面积为$w^2$。而心的宽度则可以根据模板制作计算得出。因此，心形阴影面积为： $$S=2\imes0.732-w^2$$ 综上所述，通过数学知识，我们可以计算出心形的阴影面积。在数学的世界中，每个图形都有着它独特的魅力，也都有着它们自己的“心灵”，热爱数学学习的同学们，希望你们可以在探究各种图形面积的同时，发现它们的美丽之处。